調整函式(英語:Scaling Function)
分辨率為2-j的 f 的近似值被定義為Vj上的正交投影PVjf。
為了計算這個投影,我們必須找到Vj的標準正交基底。
定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}n∈Z正交化,並通過擴張和平移調整函式Φ,建構每個空間Vj的正交基底。
避免混淆分辨率2-j和尺度 2j,在這裡,分辨率的概念被丟棄,並且PVjf 為尺度2j的近似值。
令 {Vj }j∈Z為多分辨率近似,並且Ø為具有傅立葉變換的調整函數
![{\displaystyle {\hat {\phi }}(\omega )={\dfrac {{\hat {\theta }}(\omega )}{(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\theta }}(\omega +2k\pi )|^{2})^{1/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b59b9239c2400338bce1a79c9bcdb06cb0168f2)
其中
![{\displaystyle \phi _{j,n}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\phi ({\dfrac {t-n}{2^{j}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48d08a42d294cc962619f04945bb872a8767280)
當j∈Z,Vj的正交基底為{Φj,n}n∈Z
定理證明[编辑]
為了建造一個標準正交基底,我們尋找一個函數Φ∈V0。 因此,它可以在{θ(t-n)}n∈Z的基礎上擴展:
![{\displaystyle \phi (t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a[n]\theta (t-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376f54357f54a0b3bacb126f55f51213a4523bf4)
這意味著
![{\displaystyle {\hat {\phi }}(\omega )={\hat {a}}(\omega ){\hat {\theta }}(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a29a0887163a4c7eea70d49d8129bf44d5a7dbf)
其中
是週期2W的有限能量的傅立葉級數。 為了計算
我們表示了
頻域中{Φ(t-n)}n∈Z的正交性。 設
。
對任意(n,p)∈Z2而言
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \phi (t-n),\phi (t-p)\right\rangle &=\int _{-\infty }^{+\infty }\phi (t-n)\phi ^{*}(t-p)\mathrm {d} t\\&=\phi \star {\bar {\phi }}(p-n)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec8d5340233e47b35f46f1a5e1cbdcd21ac1061)
因此,只有在
時,{Φ(t-n)}n∈Z是正交的。
計算此等式的傅里葉變換得到
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\phi }}(\omega +2k\pi )|^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7139e3b026f82bf652406888b8ac109b739382a0)
實際上,
的傅里葉變換是
,取樣函數可以對其傅立葉變換進行週期化。
如果我們選擇下列式子,則上式將被證實
![{\displaystyle {\hat {a}}(\omega )=(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\theta }}(\omega +2k\pi )|^{2})^{-1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ddd1426184359359396d6418f121567005b047)
其中分母具有嚴格上下限,因此a是有限能量的2W週期函數。
近似值[编辑]
通過縮放正交基礎的擴展,獲得f在Vj上的正交投影
![{\displaystyle P_{V_{j}}f=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left\langle f,\phi _{j,n}\right\rangle \phi _{j,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1c1f7fef1aeaf31307c4796af0eafbe2132cc9)
內積為
![{\displaystyle a_{j}[n]=\left\langle f,\phi _{j,n}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4f5d85307a17dfc2d4015617d5ba6813a1f5ac)
在尺度2j處擁有離散近似。 我們可以將它們重寫為卷積形式:
, with ![{\displaystyle {\bar {\phi }}_{j}(t)={\sqrt {2^{-j}}}\phi (2^{-j}t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204c7a70441b038a38fe76ce5df4ffcaa1c129ef)
傅立葉轉換
的能量通常集中在[-π,π]中。
因此,
的傅立葉轉換
主要是在[-2-jπ,2-jπ]中,不可忽略不計。
離散近似 aj[n] 是以間隔 2j 取樣的 f 低通濾波。
參考資料[编辑]
- S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way, Academic Press, 3rd edition, 2009.