貝爾特拉米等式是變分法中的一等式,由貝爾特拉於1868年發現。它所表達的是,若函數u是以下積分的極值
![{\displaystyle I(u)=\int _{a}^{b}L(x,u,u')\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b98c03290e053d3ce90f7682d5e409a6d138183)
則符合以下微分方程:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f62a552fb15796aacdfd40014bf1296f5eaa81)
若L是力學系統中的拉格朗日量,且L並非x的顯函數,即拉格朗日量並非時間的顯函數,那麼,貝爾特拉米等式表明其哈密頓量是一守恆能量。
定義共軛動量p為L的偏微分
![{\displaystyle p={\partial L \over \partial u'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31dabe789bc1f088c96a782a710c352039a2bac6)
則歐拉-拉格朗日方程給出
![{\displaystyle {dp \over dx}-{\partial L \over \partial u}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269565a54b79cafac805390436afcd42015ea5e7)
即
![{\displaystyle p'={\partial L \over \partial u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5575356aec9b0c264a1eadfb4e85c78a77916)
再定義哈密頓量H為L之勒壤得轉換:
![{\displaystyle H=pu'-L\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3882cf438a5d7ff525ec2ae1ec3b5ee7e8b5665e)
則
![{\displaystyle H'={dH \over dx}=p'u'+pu''-{\partial L \over \partial u'}u''-{\partial L \over \partial u}u'-{\partial L \over \partial x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94b0e6ff9fb8e7a42a3f789761b858b1f51bc89)
其中第二及第三項相抵,根據p之定義及歐拉-拉格朗日方程,第一及第四項亦相抵,所以給出貝爾特拉米等式:
![{\displaystyle H'=-{\partial L \over \partial x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52801731570b6a72519161ebe5638de2565863ea)
此亦是諾特定理的特例。
若L獨立於x,則貝爾特拉米等式說明H為一常數:
![{\displaystyle -H'={\frac {d}{dx}}\left(L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef25d5900be767621aeb445f049cdc78c57b365)
此可用作求歐拉-拉格朗日方程的解,如同用能量守恆律解牛頓力學一樣。H為常數給出u的一階導數方程,而歐拉-拉格朗日方程則為u的二階導數方程。
例如最速降線問題,求最小化以下積分之曲線:
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556bf84d2bc4cc943fd0aeab1430311cbd46fc25)
其中,將積分最小化的函數L與時間無關,
![{\displaystyle L(y,y')={{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f86f73a87952887dbeae8973723e66848cd1df6)
故此相關之哈密頓量為常數:
![{\displaystyle H=py'-L={y'^{2} \over {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}-{{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}={-1 \over {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9779f009c7c06958d5d1c0c7e3c00d735c395bc8)
![{\displaystyle {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}={\text{constant}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57899489e6c80824393557b79c391fcfd484640)
所以前述方程轉化為擺線之微分方程。
外部連結[编辑]