二年级之梦(sophomore's dream)是约翰·白努利于1697年发现的两条有趣的数学恒等式。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{x}}}\,\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}&&\scriptstyle {(=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots })\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&\scriptstyle {(=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots })\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5656c25819b28533586e2f00c544475ac9d65270)
名称来自于与之相对的一年级之梦,也就是“ (x + y)n = xn + yn ”。两个梦都带有数学吓人的简单表达方式,然而一年级之梦为错误的方程式,因为只要将
带入就会发现无法形成等式;但是二年级之梦却是正确的式子。
在座标上,两公式的关系。
第一条公式,首先利用对数转换和积分与级数顺序变化[1]:
- 对数转换
![{\displaystyle x^{-x}=e^{-x(\ln x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b5bd3975bfe51d5cec061326d3845832c63072)
- 指数函数的泰勒展开式
![{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce771ebf861c26bb939244ea6abbd4dc8e945ff)
得到
在上式中我们利用了幂级数的均匀收敛性,以交换求和运算及积分运算
设
则
再设
根据Γ函数,
最终推得
若则积函数为
,则可用同法推得
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