盧卡斯數列是斐波那契數和盧卡斯數的推廣,以法國數學家愛德華·盧卡斯命名。
遞推關係[編輯]
給定兩個整數P和Q,滿足:
![{\displaystyle P^{2}-4Q\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c915cd7e00dad85d89d7817dc8756b0231e1350c)
則第一類盧卡斯數列Un(P,Q)和第二類盧卡斯數列Vn(P,Q)由以下遞推關係定義:
![{\displaystyle U_{0}(P,Q)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab65e7edf5489f871f8cdbdeeae5992026f52755)
![{\displaystyle U_{1}(P,Q)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2767d59b5fc386e0da8a6a35eba4779363839f1d)
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\,\,,\,n>1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f913a076f4a9361529cc1b13aa34e4003544998f)
以及
![{\displaystyle V_{0}(P,Q)=2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002dbc6c1d4985f9ec9c72f24e573aa41f64f30b)
![{\displaystyle V_{1}(P,Q)=P\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d63802ea912ba7fae75e93a7925e8ec8c3e66584)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q)\,\,,\,n>1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c025265570e4dea3182d84fb139992efa912c9)
代數關係[編輯]
盧卡斯數列的特徵方程是:
![{\displaystyle x^{2}-Px+Q=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4c9d05c963f53aa52587cfbcc0a45fcc1c9650)
它的判別式是
,它的根是:
![{\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad ,\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b0ca3b607f915dbe636e053ff66e845b4b3ad7)
注意a和b是不同的,因為
盧卡斯數列的項可以用a和b的項定義如下:
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0893bbc68f597830daf04c0be23786d51fbea66)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c811f99862261b2e6d5e257967a6bc91ac70ba39)
從中我們可以推出以下關係:
![{\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54d235001ff706176add341e193f3d753c1c6f3)
![{\displaystyle b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2ed69e4fe0d92baadca78ec5913edaf56fe127)
其他關係[編輯]
不少斐波那契數和盧卡斯數所滿足的關係,在盧卡斯數列中也有類似的形式。例如:
一般 |
P=1, Q=-1
|
![{\displaystyle U_{n}={\frac {V_{n+1}-QV_{n-1}}{P^{2}-4Q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab9b0cc2587e93a1844e2b834ec377679e07a2b) |
|
![{\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eee08284dcecfa78a70c266cc036e280f6c8fe5) |
|
![{\displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc060eff26eab63082b935a4f59c6784d738755b) |
|
![{\displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf95e7fab570998290688d32240dfe2517721e17) |
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![{\displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c21ffed78d293bfb424a732e608efc9258155e1) |
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![{\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed1371042d2c9a3eae3c6fa7fdadabd728a3aee) |
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特殊名稱[編輯]
對於某些P和Q的值,盧卡斯數列有特殊名稱:
- Un(1,−1):斐波那契數
- Vn(1,−1):盧卡斯數
- Un(2,−1):佩爾數
- Un(1,−2):Jacobsthal數
參考文獻[編輯]