數學上,特別是泛函分析中,希爾伯特空間中的每個線性算子有一個相應的伴隨算子(adjoint operator)。算子的伴隨將方塊矩陣共軛轉置推廣到(可能)無窮維情形。如果我們將希爾伯特空間上的算子視為「廣義複數」,則一個算子的伴隨起着一個複數的共軛的作用。
一個算子A的伴隨常常也稱為埃爾米特伴隨(Hermitian adjoint,以夏爾·埃爾米特命名),記作A*或A†(後者尤其用於狄拉克符號記法)。
有界算子[編輯]
假設H是一個希爾伯特空間,帶有內積
。考慮連續線性算子A : H → H(這與有界算子相同)。
利用里斯表示定理,我們可以證明存在唯一的連續線性算子
A* : H → H具有如下性質:
,對所有
。
這個算子A* 是A的伴隨。
這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣,在標準(復)內積下具有相似的性質。
馬上可得的性質
- A** = A
- 如A可逆,則A* 也可逆,且 (A*)−1 = (A−1)*
- (A + B)* = A* + B*
- (λA)* = λ* A*,這裏λ* 表示複數λ的復共軛
- (AB)* = B* A*
如果我們定義A的算子範數為
![{\displaystyle \|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c077c0693ff3ed0bb3860135d3f66d4adc040834)
則
![{\displaystyle \|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3894550ec9d1b14476e0e3d40853df3f5de3e53f)
而且有
。
希爾伯特空間H上有界線性算子與伴隨算子以及算子範數給出一個C*代數例子。
A的像與它的伴隨的核的關係為
![{\displaystyle \ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cafab012ddcd8ef0ed67f449835656dd3b8185a)
。
第一個等式的證明:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff \langle x,Ay\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c35fc123edc68d489246b057e4d3bdc2dcd330)
第二個等式由第一個推出,於兩邊取正交空間即可。注意到一般地,像未必是閉的,但連續算子的核總是閉的。
埃爾米特算子[編輯]
有界算子A: H → H稱為埃爾米特或自伴如果
- A = A*
這等價於
。
在某種意義下,這種算子起着實數(等於他們的復共軛)的作用。他們在量子力學中作為實值可觀測量的模型。更多細節參見自伴算子一文。
無界算子的伴隨[編輯]
許多重要的算子不是連續的或只定義在希爾伯特的一個子空間上。在這種情形,我們仍然能定義伴隨,在自伴算子一文有解釋。
其他伴隨[編輯]
範疇論中,方程
![{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2df8c0231f3ba0fda6150d96d63836f00978ea8)
形式上類似地定義了伴隨函子偶性質,這也是伴隨函子得名之由來。
參考文獻[編輯]
- Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006