Jordan–Wigner 變換可用於將自旋算符映射到費米子的產生和湮滅算符。一維晶格模型由 Pascual Jordan 與 Eugene Wigner 提出,當前亦得到二維模型的類似變換。 通過把自旋算符變換為費米子的產生湮滅算符,繼而在費米子基矢中作對角化,Jordan–Wigner 變換經常用於精確求解 1D 自旋鏈,例如伊辛模型和 XY 模型。
此變換證明一維空間至少在有些情況下, 自旋-1/2 粒子與費米子不可區別。
自旋與費米子類比[編輯]
接下來證明如何從一維自旋-1/2粒子構成的自旋鏈映射到費米子.
將自旋-1/2泡利算符作用到1D鏈的上的第j個晶座,
. 選取 反對易算符
and
, 可以發現
, 這些可從費米子的產生湮滅算符中得到。我們可以嘗試,
![{\displaystyle \sigma _{j}^{+}=(\sigma _{j}^{x}+i\sigma _{j}^{y})/2=f_{j}^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406e44d3da3f97a36f352092bc49cc4adae2bcd8)
![{\displaystyle \sigma _{j}^{-}=(\sigma _{j}^{x}-i\sigma _{j}^{y})/2=f_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a374f7c59d04c58912d643458f31a42e2a1f3704)
![{\displaystyle \sigma _{j}^{z}=2f_{j}^{\dagger }f_{j}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a52dc0d69b467236d2ff57f2901cadb77118c9e)
這樣,可以得到同晶格上費米子關係
, 但對不同的晶格,有關係
, 其中
, 如此不同晶格上的自旋的對易關係不同於反對易的費米子。人們必須彌補這個問題。
Jordan–Wigner 變換[編輯]
能夠恢復從自旋算符到真正費米子對易關係的變換於1928由 Jordan 和 Wigner 提出[1]。此為 Klein 變換的特殊情況。考慮費米子鏈,定義一組新算符
![{\displaystyle a_{j}^{\dagger }=e^{+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}f_{j}^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acec73f417abe5fbeacfa690e1243536d08d2811)
![{\displaystyle a_{j}=e^{-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}f_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c25e936d04d02029873976a7860a6118a3ea78)
![{\displaystyle a_{j}^{\dagger }a_{j}-{\frac {1}{2}}=f_{j}^{\dagger }f_{j}-{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478275075ee2b843d4a97028f37ab12ce7219ba3)
與之前的定義相差一個相
。此相與場模
下占據的費米子數有關。如果占有模數為偶,此相等於
; 占有模數為奇,相為
。表示為
![{\displaystyle e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}e^{\pm i\pi f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}(1-2f_{k}^{\dagger }f_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7269fbbce03e9d88b9b2a274fa4abb97c67a4189)
最後一個等式使用了
這樣,變換後的自旋算符具有正確的費米子對易關係
![{\displaystyle \{a_{i}^{\dagger },a_{j}\}=\delta _{i,j},\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=0,\{a_{i},a_{j}\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625a6ebed7fbaff285ae3c7fba412776401df278)
逆變換為
![{\displaystyle a_{j}^{\dagger }=e^{+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}}\sigma _{j}^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddc1c7d48b73f435acd5b0a1ee1b22ce0a91c16)
![{\displaystyle a_{j}=e^{-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}}\sigma _{j}^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb7a7d43f5e7771826868c8505d371c8d6209e1)
![{\displaystyle a_{j}^{\dagger }a_{j}=\sigma _{j}^{z}+{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052df727143a68a1f792671458fe6384670f1b1f)
參考文獻[編輯]
- ^ P. Jordan and E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot, Zeitschrift für Physik 47, No. 9. (1928), pp. 631-651.